Жду новый пост

Серия «Математика, такая математика. »

Ранее я публиковал пост с формулой разведения:
Я тут формулу вывел (математика на коленке)
когда разведение производится равномерно.
Речь шла о преобразовании произведения двух множителей в произведение двух других множителей, например:
22*27 преобразуем:  - в произведение 21*28+С1
- в произведение 20*29+С2
- в произведение 19*30+С3  и т.д.
также можно провести обратный процесс сведения, например:
56*72=57*71+С1=58*70+С2=59*69+С3= и т.д.
Такие действия, когда разведение (сведение) производится равномерно, выражаются формулой:
x*(x+A)=(x-k)*(x+A+k)+k*(A+k)  (*)
  где  А – разница между начальными множителями х и (х+А)
k – шаг разведения.

Например:  28*30=26*32+2(2+2)=26*32+8
Или другой пример, уже с выражениями:
(х^2+x+6)*(x^2+x+8)=(х^2+x+6-6)*(x^2+x+8+6)+6(2+6)=
=(x^2+x)*(x^2+x+14)+48
Сегодня я представлю общую формулу разведения, когда разведение производится не равномерно, т.е. один множитель разводится на больший шаг, чем другой, в том числе и случай, когда разводится только один множитель. Напомню, что такая формула действует и при сведении множителей, при этом  меняются знаки на противоположные при показателях К, которые являются шагом разведения (сведения).

х*(х+А)=(х-К1)*(х+А+К2) +х*(К1-К2)+К1(А+К2)  (**)

где А – разность между начальными множителями (х) и (х+А)
К1 – шаг разведения для первого множителя (х)
К2 – шаг разведения для второго множителя (х+А)

При этом элементы х, х+А, А, К1 и К2 могут быть дробными. 

Если К1=К2, то формула(**) приобретает вид (*), т.е. вид формулы равномерного разведения.
Приведу пример для общей формулы разведения, когда К1 не равно К2:
52*57=(52-2)*(57+3)+52*(2-3)+2(5+3)=50*60-52+16=50*60-36
здесь  А=5, К1=2, К2=3.
И пример с выражениями (здесь А=2, К1=6, К2=2):
(х^2+x+6)*(x^2+x+8)=(х^2+x+6-6)*(x^2+x+8+2)+(x^2+x+6)*(6-2)+6(2+2)=
=(x^2+x)*(x^2+x+10)+4*(x^2+x)+48
….если хотите, можно продолжить:
=(x^2+x)*(x^2+x+14)+48  но это уже вид равномерного разведения, когда К1=К2=6
Данные формулы являются инструментом  для преобразования. Надеюсь, я нигде не ошибся, изложил доступно и эти формулы смогут сделать жизнь немного легче. И уж коли я это придумал сам, поставлю тег Моё ))))

Опишу в этом посте формулу, которую я на днях вывел. Правда, намеки на нее я заметил еще месяц назад, когда развлекал себя умножением больших чисел в уме. Сразу скажу, что эта формула может быть уже известна, да только я её не встречал - люблю, знаете ли, до всего доходить сам. Так интереснее !
Но если кто-то мне укажет на уже существующий математический опус, я буду только рад.
Ну, поехали.
Занимаясь небольшой математической проблемкой, обратил внимание на такую особенность:
11*12= 10*13+2=
= 9*14+6=
= 8*15+12=
= 7*16+20= и т.д.
Обратите внимание, что начальные множители 11 и 12 словно раздвигаются, разводятся в разные стороны и превращаются сначала в 10 и 13, потом в 9 и 14, потом в 8 и 15, потом в 7 и 16 , и т.д. Правда, для коррекции равенства к новому произведению добавляется корректор в виде слагаемых: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Можно рассмотреть другую цепь:
17*18= 16*19+2=
= 15*20+6=
= 14*21+12=
=13*22+20=  и т.д.
Так же заметно, как расходятся в «стороны» множители и присутствуют те же самые  корректирующие слагаемые: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Сразу могу сказать, что корректирующие коэффициенты зависят от начальных множителей, а вернее, от «расстояния» между ними, а так же от шага разведения.
Для примера, возьмём произведение двух одинаковых чисел, пусть 22 и 22 и «разведём» их:
22*22 = 21*23 +1 =
= 20*24 + 4 =
= 19*25 + 9 =
= 18*26 + 16 = и т.д.

Видно, что коэффициенты изменились, но, в действительности, они подчиняются единой формуле. Прежде чем озвучить её, я приведу еще несколько примеров:

98*99 = 97*100 + 2
97*98 = 95*100+6
101*102 = 100*103 + 2
102*105 = 100*107 + 10

В последних примерах представлено, как можно быстро перемножать числа, близкие к числам 10^n.
Все эти преобразования подчиняются формуле, которую я назвал формулой разведения (должна же она иметь название). Если разведение осуществляется равномерно, например 44*47 преобразуется в 43*48, затем в 42*49 и т.д, то  можно обозначить зависимость:

x*(x+A)=(x-k)*(x+A+k)+k*(A+k)

где  A — разность между множителями, она может быть дробной.
k — шаг раздвижения, он может быть дробным.
Начальные множители также могут быть дробными. Т.е.:

51,7*52,1=(51,7-2,9)*(52,1+2,9)+2.9*(0,4+2,9)=48,8*55+9,57=2693,57

Эта же формула работает и при сведении множителей, при этом коэффициент k принимает отрицательное значение. Например:

98*105 = (98-(-2))*(105-2)-2*(7-2) = (98+2)*(105-2)-2*(7-2)=100*103-10=10290
В данном примере A = 7,  k = -2

Как я показал, данная формула разведения позволяет легче умножать числа, близкие к 10^n, приводить выражение к необходимому множителю, а так же позволяет сохранять и выделять группы в выражениях. Например, пусть дано выражение:
(a-2)*(b+3)+a*(a+1)

Разведем группу  a*(a+1):
(a-2)*(b+3)+a*(a+1)=(a-2)*(b+3)+(a-2)*(a+3) + 6 =  (a-2)*(b+a+6) + 6

На этом примере видно, что мы смогли с помощью формулы разведения сохранить группу (a-2).

Я не буду здесь приводить формулу для одностороннего разведения-сведения, хотя и в ней нет ничего сложного.
Если Вы сможете озвучить возможные применения данной формулы, то заранее говорю Вам спасибо !
И уж коли я дошел до этого сам, то поставлю тег Моё.