Ну вот, наконец настало время запилить первый свой познавательный пост.
Все в школе решали квадратные уравнения, там вам рассказывали про дискриминант, что два корня, и все такое, причем, скорее всего, в подробности не вдаваясь. Мне в какой-то момент стало интересно, а почему все так, а не иначе, откуда взялись эти дискриминанты, почему корней два, а не три или сколько-то еще. Вообще, я люблю представлять себя математиком древности, который открывает что-нибудь. Типа, вот раньше чего-то не было, а он взял и вывел. Как это могло происходить?
Конечно, я буду использовать современные достижения математики, которые, возможно, не были известны первооткрывателям тех же квадратных уравнений, но строгости это не уменьшает, поэтому такой подход меня устраивает.
Итак, что же такое квадратное уравнение? Это уравнение вида:
Наверно, можно сказать, что многие уравнения призваны решить вопрос - в каких точках пересекаются графики некоторых функций. Пересечение графиков функций - наглядная интерпретация того, что же представляет собой решение уравнения. В нашем случае у нас две функции - в левой части квадратничная функция, в правой - константа 0.
У нас тут общий случай, то-есть неизвестны конкретные значения констант, поэтому честно нарисовать график квадратичной функции сразу мы не можем. Сперва я хотел исследовать функцию всеми доступными методами(дабы аргументированно рисовать график), но потом решил, что, раз для нахождения решения нам нам хватит чисто арифметических действий, лучше не усложнять и не лезть в производные. Поэтому я решил нарисовать несколько графиков, неподходящие из которых мы будем отсеивать по мере продвижения к решению.
Итак, допустим, наша функция будет представлять собой один из графиков, пока мы не знаем, какой.
Теперь, попробуем как-нибудь изменить исходную функцию, чтобы она стала проще, но сохранила свойства исходной. У нас три константы, а это многовато, давайте попробуем избавиться от как можно большего их количества. Для начала, мы можем поделить все уравнение на a. а заведомо не равна нулю, так как если бы была равна, наше уравнение превратилось бы в простое линейное, которое, будем считать, уже всем известно, как решать. Тогда у нас получится новое уравнение:
Чтобы не тащить возможное нагромождение дробей, мы назовем для краткости константы новыми именами, а уравнение преобразуется к виду:
А что там с графиком стало от такого преобразования? По сути, на правую часть уравнения это никак не повлияло, а функция слева сжалась(или растянулась, в зависимости от того, больше модуль а, чем единица, или меньше) пропорционально коэффициенту a к осиX, а если а было отрицательным, то еще и перевернулась вверх ногами. Самое важное здесь для нас то, что пересечение графиков с осью X вообще никак не изменилось, значит, искомое решение уравнения осталось тем же самым. Кроме того, теперь мы можем быть точно уверены, что у новой функции "рога" направлены вверх, ведь х в квадрате теперь с положительным коэффициентом, а значит, при больших по модулю значениях х, как не трудно догадаться, этот член будет положительным и будет расти быстрее, чем оставшиеся два члена.
Теперь наши графики буду выглядеть как-то так, мы убрали из них все те, что рогами вниз:
А что же делать дальше? А дальше у нас есть еще одно преобразование, которое называется замена переменной. Сделаем замену x = t + k, где t будет новой переменной, а k - какой-то константой, мы потом решим, какой. Подставим нашу замену в исходное уравнение, приведем подобные, получим:
Все внимание на коэффициент перед t в первой степени. Благодаря тому, что мы можем k выбрать произвольно, мы можем сделать так, чтобы этот коэффициент стал равным нулю, а значит, t в первой степени исчезнет из уравнения, и оно еще упростится!
Подставим найденное k в предыдущее выражение, упростим, получим:
Как видно, переменная t осталась только в виде квадрата без коэффициентов, все остальное ушло в одну константу. Но что вообще это преобразование делает с графиком? Оно просто-напросто сдвигает график влево на расстояние k(если k положительное, и в вправо в противном случае). Стало быть, если у нас было пересечение с нулем, то оно и останется, но сдвинется в какую-то сторону, а если не было, то его и не появится. Можно заметить, что если мы поменяем t на -t, то ничего не изменится(квадрат аннигилирует минус), значит, функция стала четной, отражение графика функции от оси Y ничего не меняет, следовательно, преобразование, которое мы сделали, превращает график в симметричный относительно оси Y, причем все линии одинаковые, за исключением того, что находятся на разной высоте.
Рассмотрим повнимательнее последнее выражение, его можно переписать в виде:
Очевидно, что так как t в квадрате может быть только неотрицательным, то минимум функции достигается при t=0. Следовательно, если второе слагаемое(а можно считать, что только его числитель) положительно, то функция до нуля не достанет и решений уравнения, стало быть, нет. Это случай синей кривой на графике. Если нам так повезло, что что слагаемое равно нулю, то очевидным единственным решением будет 0, это зеленая кривая. Если же слагаемое отрицательно, то существуют какие-то решения, это оранжевая кривая. Это три случая, имеют принципиальную разницу, все остальное многообразие возможных уравнений сводится к этим трем. Теперь разберемся, сколько же там корней. Выразим t из последнего выражения(будем считать, что обратную функцию для квадрата мы знаем):
Здесь мы наконец-то узнаем, почему корней двое. Извлечение алгебраического корня из числа - неоднозначная операция. Что есть алгебраический квадратный корень из числа A? Это такое число B, что A = B*B. Но если мы B заменим на -B, то минусы друг об друга при умножении аннигилируют, и получится то же самое число А: -B * -B = (-1)*B * (-1)*B =(-1*-1)*B*B = B*B = A, так что нам придется признать, если для числа А число B является алгебраическим корнем, то и -B так же является корнем. Однако, это обычно учитывается при решении уравнений, но есть еще понятие арифметического корня - это когда нам надо просто и без выпендрежа извлечь корень из положительного числа - тогда берется просто положительная "половина", чтобы все было однозначно. Именно арифметический корень здесть подразумевается в виде записи со значком корня.
Так вот, так как корней два, с плюсом и с минусом, решения тоже два - с плюсом и с минусом. Чтобы два раза одно и то же не писать с разницей в один символ, этот факт мы просто обозначим специальным значком ±.
Думаю, уже ясно, что ранее рассмотренное разделение на три отдельных случая как раз и связано с тем, извлекается ли корень в последнем выражении, иными словами, положительно ли подкоренное выражение. Интересно так же, что случай, когда решение уравнения одно - это на самом деле тот же случай, что и когда их два, с той лишь разницей, что они совпадают, так как что +0, что -0 - одно и то же.
Но мы нашли какое-то t, а нам ведь надо найти х. Для этого, выполним все преобразования, которые мы сделали над уравнением, теперь уже над его решением в обратном порядке, а именно просто подставим все то, что мы назаменяли:
Ой, а что это у нас тут под корнем такое знакомое??? Да это же дискриминант!
Ну вот, собственно, и все, решение получено. Хотел еще про правила Виета написать, но, думаю не стоит, пост и так большой, а правила эти весьма просты.
P.S. Если пост наберет хотя бы несколько десятков плюсов, напишу про более интересные уравнения(типа кубического), или про константы, вроде Пи.