Геометрия футбольного мяча⁠⁠

Вчера победой Франции завершился чемпионат мира по футболу! А знаете ли вы, какой на самом деле формы футбольный мяч?

"Мяч должен быть сферическим» гласят правила игры в футбол от FIFA. Очевидная мысль, но так ли это просто сделать? Если присмотреться к мячу, можно увидеть, что он покрыт различными геометрическими фигурами. Образуют ли они сферу?

Природа хороша в изготовлении сфер, но людям это удаётся не так просто. Например, для игры в настольный теннис нужны идеально круглые мячи. Их изготавливают склеиванием двух полусфер, но так количество брака достигает 95%. Отбраковка некачественных мячей выглядит весело: специальная пушка запускает мячи в воздух. Круглые летят по прямой, а мячи неидеальной формы отклоняются вбок. Потому что физику не обманешь :)

Футбольные мячи сплавлением частей изготовить не получится. Они переносят очень сильные удары и должны быть обшиты прочным материалом. Раньше использовалась кожа, сейчас — синтетика. Части для обшивки всегда вырезают из плоских листов. Какой же формы их вырезать так, чтобы было возможно обшить ими сферу?

Древнегреческий философ Платон предложил пять «идеальных форм», состоящих из одинаковых геометрических фигур

1. Меньше всего компонентов — 4, требуется для пирамиды с треугольным основанием — тетраэдра. Но такой футбольный мяч будет не очень хорошим: у него слишком мало граней. Подойдёт разве что для игры в футболь

2. Из 6 квадратов можно составить куб. Кажется, что это тоже не очень хороший вариант, но он послужил основой первым футбольным мячам. Мяч для самого первого чемпионата мира 1930 года состоял из 12 прямоугольных полосок кожи, сгруппированных в шесть пар и расположенных таким же образом, как при сборке куба. Второй мяч чемпионата состоит из 6 кусков, вырезанных в форме буквы «H» и также основан на кубе

3. Восемь равносторонних треугольников могут быть составлены симметрично, образуя октаэдр. Это два тетраэдра, соединённые основаниями. При правильном соединении невозможно сказать, где был стык

4. Додекаэдр состоит из 12 пятиугольных граней. Видно, что чем больше граней, тем более круглым становится мяч

5. Лучшим приближением к сфере является последнее Платоново тело — икосаэдр, состоящий из 20 правильных треугольников. Более сферической формы из одной геометрической фигуры не составить

Другой древнегреческий учёный, Архимед решил улучшить Платоновы тела. Он не ограничивал себя одной плоской геометрической фигурой, а пытался достичь как можно более сферической формы, используя несколько

Его первой идеей было «срезать» углы у фигур Платона. Так, если отсечь углы у тетраэдра, треугольные грани превратятся в шестиугольные, а на месте разрезов появятся новые треугольники. Такая фигура называется усечённым тетраэдром и который выглядит уже более круглым, чем пирамида

Также Архимед поступил и с другими Платоновыми телами, получив из них 7 новых фигур. Кроме того, геометр дополнил их 6 фигурами собственного изобретения. Все вместе они стали называться Архимедовыми телами

Именно одно из 13 Архимедовых тел послужило основой новому футбольному мячу Teamgeist, представленному на чемпионате мира 2006 года в Германии. Этот мяч, слывущий самым круглым, состоит из 14 фигурных кусков, но структурно он соответствует усеченному октаэдру. Возьмите октаэдр, состоящий из восьми равносторонних треугольников, и обрежьте шесть его вершин. Восемь треугольников становятся шестиугольниками, а на месте шести вершин появляются квадраты

Возможно, будущие чемпионаты мира отличатся более экзотическими Архимедовыми футбольными мячами. Например, плосконосым додекаэдром, состоящим из 92 симметричных компонентов: 12 правильных пятиугольников и 80 равносторонних треугольников

Так даже за развлечениями скрывается интереснейшая наука!

Больше постов о науке, учёбе и IT можно найти в моей группе. Материал поста основан на книге Маркуса дю Сотоя "Тайны чисел"