Серия «Как ожидать неожиданное»

Когда мера становится целью, она перестает быть хорошей мерой

К нежелательным последствиям может привести тренировка нейронных сетей. Подобные системы, натренированные на определённых наборах данных, представляют собой чёрные ящики: мы не знаем внутреннюю логику, на которой строятся решения системы. Это, конечно, риск: кто знает, как поведёт себя система в новых обстоятельствах? У неё есть заданная нами цель, а вот выбор средств часто явно не указывается. Автор рассказывает историю, как нейронку по рентгенодиагностике тренировали на данных из двух больниц, статистика в одной из которых заметно превышала другую. Система научилась различать происхождение снимков и базировать свои выводы на этом. Ведь ей скармливали весь снимок, включая вспомогательную информацию на полях. А то, что надо смотреть лишь на лёгкие, а не буквы L и R, не сказали.

При выработке модели важно также не зайти слишком далеко. Можно интерполировать последовательность 3, 5, 7, 9 простой линейной функцией и заключить, что следующее значение – 11. Но эта функция – не единственная с такими значениями. Через эти точки можно, например, провести кривую четвёртого порядка, следующее значение которой будет 23. Что делать? Не плодить сущности понапрасну и пользоваться бритвой Оккама. То есть использовать минимальное число параметров для объяснения ситуации. В том числе не стремиться подогнать модель под данные с идеальной точностью.

Упомянув про самосбывающееся, трудно пройти мимо пророчества самоотменяющегося. С подобной дилеммой столкнулся ещё пророк Иона в седой древности: Господь повелел ему передать пророчество о разрушении Ниневии, если жители этого города не раскаются. Однако вот ведь какое дело: если они поверят ему и раскаются, то город не разрушится, и тогда само пророчество не сбудется. Ну и кто он будет после этого в их глазах? Вот и попытался спетлять и отправился в плаванье. Но Господа не обманешь. Корабль попал в сильнейший шторм, и когда корабельщики бросили жребий, кого выкинуть за борт, тот пал... да, на Иону. Как только того выбросили, шторм прекратился. Но Иона не погиб в пучине: его проглотил кит, в чреве которого три дня и три ночи он молился. Господь дал ему второй шанс, кит изверг Иону на берег, тот пошёл в Ниневию, стал пророчить о гибели города через сорок дней. Ниневийцы впечатлились и покаялись, их гибель не случилась, а пророчество Ионы – не исполнилось. Автор находит Иону в современности в лице эпидемиолога Нила Фергюсона, предсказавшего смерть полумиллиона британцев, если не бороться с распространением коронавируса. До такого не дошло. Умерло порядка двухсот тысяч. Помог локдаун, вакцинация и другие меры, за которые и выступал Фергюсон. Автор, правда, не сообщает ещё одну цифру из его предсказаний: что при соблюдении карантина число жертв может упасть ниже 20 тысяч.

К неожиданному исходу соперничества может привести недооценка противника. Голиаф может почивать на лаврах и расслабиться, в то время, как Давид будет гореть желанием опровергнуть ожидания и самоутвердиться своей победой над фаворитом. Подобный феномен автор называет эффектом аутсайдера, хотя Википедия имеет в виду нечто другое. Так или иначе, такое развитие событий, наряду с самоотменяющимся пророчеством, представляет собой примеры отрицательной обратной связи.

Если честно, я так не считаю. Это, скорее, примеры того, когда исход не такой, как планируется. Сигнал же обратной связи вычитается из задания на управление для вычисления рассогласования, чтобы узнать, далеко ли мы от цели. Мы выстреливаем в мишень, смотрим, куда попала пуля и делаем поправку. Стоим под душем, крутим ручку и чувствуем изменение температуры. Температуру (а также другие параметры тела) регулирует и наш мозг, используя обратную связь и управляющие воздействия. Разумеется, исход процесса регулирования может оказаться не таким, как хотелось бы. Длинная труба в душе может сделать задачу сложной, мы крутим кран в одну сторону, но пока вода достигнет нашего тела, проходит слишком много времени, и станет слишком горячо. Крутим в другую – опять промахиваемся, слишком холодно. Система входит в колебания. И будет неплохо, если эти колебания не слишком широки. А то при определённых обстоятельствах система может пойти вразнос.

Совет автора читателю очевиден до невозможности: пытаться предвидеть эффект бумеранга. Думать о непредвиденных последствиях. Брать на «слабо». Не всегда идти путём прямых запретов, ведь запретный плод сладок. Практическая ценность таких советов, на мой взгляд, не слишком высока.

Каковы бы ни были наши потенциальные предсказательные способности, иногда приходится признать: они не бесконечны. Приведу пример. Допустим, что совершая действие A, мы уменьшаем какой-то параметр B, который неизбежно должен уменьшить параметр С, что нам и нужно. Но на самом деле наше действие может привести и к росту параметра D, который тоже влияет на C. Единственным способом убедиться в нужном результирующем воздействии этих двух путей влияния будет использование количественной модели. Вербальная качественная модель в этом случае не сработает.

Говоря о непредсказуемости, автор упоминает заблуждение нормальности: мы склонны думать, что в будущем всё будет так же, как сейчас. Мы откладываем написание завещаний, не сразу реагируем на предупреждения о надвигающемся бедствии. Некоторые даже не верят предупреждениям. Чем это чревато, мы можем убедиться на примере судьбы жителей Помпейи, которые даже после начала извержения Везувия далеко не все поспешили покинуть город. Наши современники не намного разумнее их, что показала реакция жителей Нью-Йорка и окрестностей на штормовое предупреждение в октябре 2012 года. Тогда лишь менее половины жителей покинуло зону эвакуации. Результат: смерть 159 человек в результате урагана Сэнди.

Кстати, о погоде. Её мы хоть и умеем предсказывать, но тоже неидеально. Когда-то давно мы полагались на эмпирические приметы вроде красного неба на закате, предвещавшего ясную погоду (в отличие от красного восхода). Эта примета нашла своё отражение даже в Библии.

На закате, увидев, что небо красное, вы говорите: «Будет хорошая погода», а на рассвете, если небо заволокло багровыми тучами, вы говорите: «Будет буря».

Нельзя не отказать Иисусу в правоте: действительно, в умеренных широтах Северного полушария преобладают западные ветры, и область высокого давления с хорошей погодой (которую мы видим как красное небо) появившись на закате, с большой вероятностью пройдёт через нас. Если же мы увидим красное небо на востоке, то, похоже, хорошая погода от нас уже уходит. Красный цвет небу придаёт преломление солнечных лучей в частичках пыли, застревающих в атмосфере при антициклоне.

Но не все приметы выдержали испытание временем. Коровы ложатся на землю по разным причинам, и совсем необязательно перед дождём. Натуралисты в Германии подметили в восемнадцатом веке, что древесные лягушки залезают вверх по деревьям в хорошую погоду. Появилась мода заводить у себя дома лягушку и держать её в кувшине, из которого наверх вела вверх маленькая лестница.

Погодная лягушка

На самом деле, эти животные не предсказывали, а следовали хорошей погоде, при которой мошкара поднимается выше от земли. Разумеется, в домашних условиях своим поведением они не сообщали хозяину ничего путного. А синоптиков на телеэкране немцы иронически по сей день называют «погодными лягушками».

Поводов для иронии и издевательств над синоптиками сегодня тоже хватает, хотя стоит заметить, что мы лучше помним их неудачи, нежели их успехи. Ещё одним поводом для насмешек может являться неясность некоторых понятий. Вы знаете, что такое вероятность осадков? Это не просто вероятность дождя в определённом районе. Её нужно ещё умножить на процент площади с дождём в данном регионе. То есть если в Москве завтра точно будет дождь, но лишь на 75% площади, то вероятность дождя и будет 75%. Стоит знать, что некоторые коммерческие бюро погоды сознательно округляют вероятности осадков в большую сторону: лучше перебдеть и не дать клиенту промокнуть. Далее, они неохотно снимают дождевой прогноз в случае изменения обстоятельств в лучшую сторону: частые изменения прогноза подрывают доверие публики. Вообще, синоптикам и прочим прогнозистам имеет смысл представлять грядущее развитие событий в виде диапазона возможных сценариев с соответствующими вероятностями вместо какого-то одного наиболее вероятного сценария. Чем меньше будет недосказанностей – тем лучше.

Существование закона причины и следствия побудила Лапласа предположить создание супер-интеллекта – демона Лапласа – который бы на основе имеющейся в его распоряжении информации о Вселенной смог бы предсказывать будущее. Если это возможно, то свобода воли – всего лишь фикция. На самом деле, мало того, что у нас не хватит вычислительных мощностей, но и присутствуют фундаментальные вещи, ограничивающие наше точное знание координат и импульса частицы в данный момент времени. А именно принцип неопределённости Гейзенберга.

Так что синоптики, несмотря на определённый прогресс, никогда не смогут порадовать нас прогнозом стопроцентной вероятности. Не только по вышеизложенной причине, но и в силу чувствительности их моделей к изменению начальных условий. Погода – это не как у Жванецкого, у которого из консерватории неизбежно попадаешь в Сибирь. Наоборот. Здесь мы имеем дело со сложной системой. Мы можем очень точно рассчитать состояние подобной системы в будущем. Но стоит измениться начальным условиям совсем чуть-чуть – и прогноз окажется совсем другим.

В шестидесятых годах прошлого века американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц создал простую модель атмосферы, которую обсчитывал на своём компьютере. Распечатки результатов выдавались с точностью до третьего знака после запятой, в то время, как внутреннее представление чисел в компьютере имело шесть знаков. Однажды Лоренц захотел повторить свои вычисления, но поленился делать всё с самого начала, а использовал распечатки промежуточных результатов. Он с удивлением обнаружил, что конечный прогноз у него получился совсем другим. Это расхождение было вызвано разницей в исходных значениях, не предвышающей одной тысячной! Это был не баг, нет. Это была фича хаотических систем. Он поделился своим открытием в статье с названием «Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» Так в науку вошёл эффект бабочки.

Лоренц удачно назвал феномен. Достаточно взглянуть на траектории его упрощённых моделей, которыми он показывал стремление системы прийти к одному из аттракторов в зависимости от начальных условий.

Бабочка Лоренца

Хаотической системой является движение планет вокруг Солнца. В конце девятнадцатого века Ковалевская вместе с Миттаг-Лефлером поставили гравитационную задачу N тел, за решение которой давалась премия в 2500 шведских крон. Ставился вопрос о стабильности орбит в Солнечной системе. Через три года проблему удалось блестяще решить Анри Пуанкаре на примере трёх тел. Премию он получил, но очень скоро нашёл у себя ошибку и впоследствии доказал, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой. Что уж говорить о большем количестве Мы не можем точно рассчитать движение планет Солнечной системы в течение произвольного промежутка времени. Точка.

Итак, даже теоретически мы не можем смотреть достаточно далеко в будущее. Поэтому следует сторониться тех, кто говорят, что совершенно точно знают, что случится. Не знают. Не могут знать.

Кто не верил в дурные пророчества,
В снег не лег ни на миг отдохнуть,
Тем наградою за одиночество
Должен встретиться кто-нибудь.

В эпилоге автор говорит нам, что если есть хоть бы один урок, который можно извлечь для себя из его книги, то это необходимость делать выводы из своих несбывшихся планов и учиться на своих ошибках. Негусто.

Как по мне – получилось эклектично. Какой-то салат из очевидных фактов, вырезок из прессы и пространных поучений. Желание автора в книге на математическую тему обойтись без формул раздуло её аж до четырёх сотен страниц. Хорошо тем, у кого есть время на их усвоение, остальным придётся, чертыхаясь, перепрыгивать абзацы и пролистывать совершенно тривиальные вещи.

Что-то новое можно для себя почерпнуть, но, скорее, фрагментарно. И бессистемно. Но излагает наш автор весьма понятно и увлекательно. Что есть, то есть. Уважаю.

Чем вы рискуете, сделав такой выбор? Вы станете верным, честным, смиренным, благодарным, творящим добро человеком, способным к искренней, истинной дружбе. Да, разумеется, для вас будут заказаны низменные наслаждения — слава, сладострастие, — но разве вы ничего не получите взамен? Говорю вам, вы много выиграете даже в этой жизни, и с каждым шагом по избранному пути все несомненнее будет для вас выигрыш и все ничтожнее то, против чего вы поставили на несомненное и бесконечное, ничем при этом не пожертвовав.

Не удивляет, что Маркс называл религию «опиумом для народа». Логика рассуждений Паскаля базируется на аксиоме бесконечного блага для христианина в раю, хотя пути Господни, по канонам самих же христиан, неисповедимы.

Наша выгода далеко не всегда зависит только от нас самих. В противном случае приходится чертить матрицы с комбинацией выгод каждого из игроков для каждого из возможных сценариев. Вернувшись к арабо-израильскому конфликту, можно заметить, что начинать обычную войну с неочевидным исходом невыгодно: потери неизбежны, и не факт, что они закроются приобретениями в случае победы. Так что выгоднее заранее договориться. Но есть такая штука, как преимущество первого удара. За счёт неожиданности можно получить от войны гораздо больший приз, который перекроет пользу от решения конфликта мирным путём. Разумеется, чтобы такая логика сработала, нужно быстро выиграть войну, чтобы не понести больших потерь. Что и удалось Израилю, ударившему первым и уложившимся в шесть дней. Удавалось и Гитлеру с его блицкригами. Правда, последняя попытка его подвела.

Наглядной демонстрацией неизбежности одного из решений при переборе вариантов служит известная дилемма заключённого, при которой у двоих задержанных по одному и тому же делу есть выбор: либо давать показания, либо молчать. Если оба будут молчать, то получат, скажем, по полгода. Если один даст показания, а второй будет молчать, то «молчуна» посадят на десятку, а «стукача» освободят. Если же оба дадут показания, то им дадут по два года. В этой схеме выгоднее давать показания: если подельник будет молчать, то выйдешь сразу на свободу, а если заговорит – получишь два года. Если же сам будешь молчать, то вариантов два: или десятка, или те же самые два года. Получается, что суммарно наиболее выгодный вариант взаимного молчания в этом случае недостижим. Правда, действительность вносит коррективы в эту теорию: круговую поруку и расправу над стукачами в преступном мире никто не отменял.

Вариант дилеммы заключённого

Чтобы успешно действовать самому, нужно уметь влезть в шкуру соперника и сделать расчёт с его точки зрения. Порою, это может спасти весь мир. В этой связи автор рассказал историю Станислава Петрова, который столкнулся со срабатыванием системы предупреждения о ракетном нападении, находясь на боевом дежурстве 26 сентября 1983 года. Однако это нападение трудно было назвать массовым. Рассудив, что вряд ли американцы ограничились бы десятком ракет, Станислав Евграфович доложил наверх о ложном срабатывании системы и спас, таким образом, планету от ядерного Армагеддона. Правда, принятие решения о запуске – гораздо более сложный процесс, нежели это представляется нашему автору. Данных от одной лишь системы для этого маловато.

Кстати о ядерном сдерживании. В холодную войну разгорание войны горячей предотвращалось доктриной взаимного гарантированного уничтожения. Когда у противника есть шанс вовремя запустить ответный массированный удар, который неизбежно приведёт к стиранию с лица земли того, кто начал первым, то оптимальный выбор в такой ситуации для обоих игроков – воздерживаться от удара самому. Если же появится надежда избежать ответного удара – логика внезапно пропадает.

Выше мы познакомились с идеей смешанных стратегий, когда часть решения отдаётся на волю случая. Случайным образом выбирают угол, в который будут бить, наиболее успешные пенальтисты. Ведь вратари знакомы с их статистикой и могут заранее угадать. Однако не только в футболе случай может помочь. Эксперименты показали, что тогда, когда одна из сторон на переговорах демонстрирует эмоциональную непредсказуемость, ей удаётся добиться иллюзии недостатка контроля у другой стороны и получить больше уступок. Надо сказать, что-то из этой стратегии демонстрировал американский президент Никсон в своё правление. Он использовал теорию безумца, сформулированную ещё Макиавелли. Зайдя в тупик на мирных переговорах по Вьетнаму, американцы привели свои вооружённые силы в состояние повышенной боевой готовности. Объявляется операция Гигантское копьё. Стратегические бомбардировщики с ядерными боеголовками на борту направляются в сторону советских границ. Авианосцы отправляются в плавание. Проходит три дня – и они так же быстро возвращаются назад на базы. Удалось ли засадить Советы за стол переговоров и сделать вьетнамцев более сговорчивыми? Нет. У Эйзенхауэра с корейцами сработало, а у Никсона полтора десятка лет спустя – нет. Ещё и опасность была, что СССР, на фоне параллельной конфронтации с Китаем, мог принять угрозы за чистую монету и решиться на ответные действия.

Реальный мир может дать больше поводов для размышления. Дерутся не всегда один на один. Что бывает, когда случается дуэль трёх (и более) лиц? Парадоксальным образом, победить в ней имеет хорошие шансы слабейший игрок. Это объясняется тем, что всё внимание оказывается на том, чтобы выключить сильнейшего из игры, чтобы потом разобраться между собой. При этом слабейшие могут объединиться между собой, а сильнейшие – терять силы на «междоусобные» разборки. Такой сценарий осуществился в одном из розыгрышей в британской версии передачи «Слабое звено». Оставшись втроём, двое проголосовали против третьего, который не завалил до того ни единого вопроса. Он был слишком сильным соперником для тех двоих, и они решили, что лучше заработать меньше, но всё же остаться с призом. Так и в предвыборной гонке ведущие кандидаты могут уничтожить репутацию друг друга войной компроматов, и на их фоне выиграет кто-то, остававшийся в их тени.

Многосторонние игры известны также трагедией общих ресурсов. Там, где много сторон пользуются неким благом общего конечного ресурса без возможности выставить счёт пользователю, рациональная стратегия для каждого – захапать как можно больше для себя. Выловить рыбы, засорить воздуха, сжечь угля. Эта стратегия, однако, рациональна лишь в кратковременном смысле: ресурс, даже возобновляемый, при этом неизбежно истощается. Так случилось с выловом рыбы в Канаде. Власти боялись ограничивать ловлю, чтобы не поставить под угрозу рабочие места. Кончилась эта боязнь истреблением трески на подконтрольных Канаде угодьях и безработицей для 45 тысяч человек. После того, как уловы упали в сто раз, был установлен запрет. Однако даже спустя десятиления треска не восстановилась до сих пор. Похоже ситуация обстоит с изменением климата: все знают о долговременных последствиях сжигания ископаемого топлива, но никто не может остановиться, поскольку пострадает здесь и сейчас.

Выходом из ситуации может послужить изменение правил таким образом, чтобы кооперация стала бы взаимовыгодным делом. Как ни странно, одним из методов решения трагедии общих ресурсов может быть их приватизация. Казалось бы, что хорошего в приватизации лесных угодий, например? И всё же хозяин, пусть и пользуясь лесом единолично, сможет позаботиться о нём и обеспечить его воспроизведение. Другие смогут тоже получить пользу в виде чистого воздуха и прочей экологии. Правда, не всюду такой подход работает. В других случаях может помочь квотирование, штрафы за нарушения и поощрения за рачительное пользование. Однако эти меры подразумевают наличие некоего общего центра и тоже не всегда работают. Лучше всего – самодисциплина и локальные меры. Правда, я думаю, не все имеют желание и, главное, средства для таких мер.

Говоря об играх, невозможно не упомянуть игры с нулевой суммой: всё, что ты потеряешь – выиграет твой соперник. И наоборот. Мы привыкли к таким играм, как привыкли к безжалостной конкуренции. На самом деле это не всегда так. Когда в начале шестидесятых пара американцев стала перекидываться фрисби в Гайд-парке, вокруг собралась толпа заинтересованных англичан, до которых мода ещё не дошла. Прошло немного времени, и один из толпы вежливо поинтересовался: «Мы смотрим уже пятнадцать минут и не можем никак понять – кто из вас сейчас выигрывает?» В принципе, часто бывает так, что небольшим изменением правил можно сделать так, что в игре никто не проигрывает. Так, проблема пластикового мусора решается запретом бесплатной раздачи пакетов. От пяти центов за пакет ещё никто в Британии не обеднел, в то время, как число продаваемых пакетов упало за пять лет в 14 раз. Ещё один пример: концерты со свободным входом часто оказываются, хоть и полностью зарезервированы, но далеко не полностью заполнены. Если бесплатно, то можно взять билет и не прийти. Выход: сделать билет платным, но возвращать деньги обратно каждому зрителю на месте, когда придёт. Жаль, что подобным способом нельзя решить проблему изменения климата. Но решать придётся: ставки слишком высоки.

Будущее часто не укладывается в наши прогнозы по причине линейности нашего мышления. Мы так хорошо знакомы с представлением пропорциональности действия его причине, что пытаемся применить это представление всюду, где только можем. Например, на бирже. Некоторые дальновидные инвесторы вложились в одну из недавно организованных автомобильных компаний в надежде на инновативную стратегию развития. Курс акций рос, но недостаточно быстро, как им хотелось бы. У кого-то хватило терпения лишь на год. А оно проболталось немного, а потом, как попёрло!

Про биржу и стратегии инвесторов можно рассказывать бесконечно. При краткосрочной стратегии, при которой снижение на 5% запускает продажу, а повышение на 5% – покупку акций, заработаешь меньше, чем тот, кто не дёргается и продолжает держать свой пакет недооцененных в своё время компаний. Многие говорят об эффективном рынке, который побить невозможно: цена акций содержит всю релевантную информацию о прошлом, настоящем и будущем. Однако эта идея игнорирует психологию толпы, которая движима базовыми инстинктами жадности и страха.

Если уж зашла речь о бирже, стоит напомнить об одном популярном заблуждении. Если курс акций упал на 50%, а потом вырос на 50%, вернулся ли он туда, где был? Нет, конечно. Он достигнет лишь 75% первоначального значения. Убыток половины цены должен восполняться двукратным ростом. Обратная пропорциональность. Ещё один пример подобной зависимости - фактор солнцезащитного крема. Если вы считаете, что взяв крем с 50% вместо 30% вы защитите себя чуть ли не вдвое лучше – вы ошибаетесь. Вы получите блокирование лишь одного дополнительного процента солнечной радиации, поднявшись в этом смысле с 97% до 98%. Автор советует нам всё же не злоупотреблять сидением на солнце, даже предусмотрительно намазавшись кремом: он действует лишь против ультрафиолета из средневолнового диапазона, а вот против лучей из длинноволнового – не действует, хотя они старят кожу и тоже могут вызывать ожоги и даже рак.

Порой предсказательные способности людей уступают животным. В одном из экспериментов испытуемым показывались два моргающих фонаря. Они моргали случайным образом, но один из них моргал 70% времени. Предлагалось угадать, какой фонарь включится в очередной раз. Люди пытались воспроизвести случайное моргание по этому приципу и угадали в 0,7*70% + 0,3*30% = 58% случаев. Голуби на их месте не были столь щепетильны и выбирали просто всегда один и тот же фонарь, который моргал чаще, и получили 70% попаданий.

Встроенная в нас линейность обманывает нас здесь и там. Мы берём две пиццы обыкновенного диаметра вместо того, чтобы взять одну двойного по двойной цене, хотя площадь у неё вчетверо больше. Пользуемся для слежения за своим весом индексом массы тела, при котором масса делится на квадрат роста (а не на рост в степени 2,5). Вообще, закон квадрата-куба имеет серьёзный смысл: геометрия диктует нам, что рост сечения мышц и костей (пропорционален квадрату длины тела) не успевает за ростом массы (пропорциональна кубу). Недаром очень высокие люди весьма часто страдают всякими недугами и имеют высокую статистику переломов и сколиозов. Крупное тело – недостаток и при падении. Несмотря на легенды, кошки имеют не самую лучшую статистику при падении с девятого этажа. А вот мыши – без проблем планируют. Ну, ушибётся немного, да и только. Геометрию не удалось обмануть и Порше с Круппом, создавшим во Вторую Мировую «непобедимый» танк под ироничным названием Maus. Да, выглядел внушительно, но движок был тоже непропорционально велик. Да и трудно было найти мост, чтобы выдержал махину в почти двести тонн.

Panzerkampfwagen VIII Maus

Действительность реагирует далеко не всегда пропорционально. Одной из неприятных последствий – нарастание долга по экспоненциальному закону, что приводит должника к недооценке сумм к погашению. По экспоненте растёт и число инфицированных при разгорании эпидемии. Даже если мы знаем, что каждые несколько дней число заболевших удваивается, недооценка самого темпа удвоения дорого встала Великобритании в марте 2020 года. Учёные исходили из 5-7 дней, а оказалось – всего три дня. По этой причине, глядя на Италию 12 марта, британцы исходили, что подобного уровня заболеваемости они достигнут примерно через четыре недели. Реальность их жёстко приземлила: они добрались туда уже 28 марта.

Экспоненциальное развитие имеют процессы с положительной обратной связью, то есть такие, в которых ответ на стимул усиливает сам стимул. Таких процессов довольно много. Например, влияние на альбедо площади снежного покрова планеты. Чем больше льда и снега – тем больше отражается солнечного света – тем меньше нагревается поверхность – тем прохладнее климат – тем больше льда и снега. Ещё одним примером могут послужить пузыри на бирже на этапах их роста и лопания. Когда пузырь растёт, то всё больше инвесторов желают приобрести актив, что поднимает его цену и привлекает всё новых инвесторов. Когда же он лопается – все стремятся сбросить побыстрее, что ещё более роняет его цену и в конце концов приводит к банкротству. Что интересно: для краха не всегда обязательно, чтобы финансовое положение компании было угрожающим. Достаточно бывает лишь одного лишь панического слуха, чтобы запустить набег на банк. Таким образом, этот слух станет самосбывающимся пророчеством.

Как вы яхту назовёте, так она и поплывёт, стало быть? Пожалуй, что-то в этом и может быть, если верить исследователям, занявшимся влиянием фамилии на выбор профессии. После анализа данных переписи населения США они определили, что мужчины одиннадцати профессий на 15% чаще, чем обычно, выбирают профессию, соответствующую фамилии. Правда, стоит упомянуть, что в мире существует намного больше профессий, для которых это соответствие либо не исследовали, либо не публиковали результаты.

Самоисполняющееся пророчество – популярный феномен в литературе. Достаточно вспомнить Эдипа или Лорда Волдеморта. Оба эти героя пытались избегнуть предсказанной им судьбы, и в результате как раз этих своих действий пришли к исполнению предсказанного. Нельзя не упомянуть в этой связи и психосоматику. Если мы верим в то, что лекарство поможет, то оно вполне может помочь, пусть даже и пустышка. Эта пустышка получила название плацебо. Эффект работает в обе стороны: сбываются проклятия, действуют и суеверия, и ноцебо. Наиболее вероятное число месяца, при котором американцы восточноазиатского происхождения умирают от сердца – четвёртое. Настолько несчастливое у китайцев с японцами, что для него существует отдельный термин – тетрафобия. Конечно, 13 тоже имеют свою трискайдекафобию.

Влиять на результаты эксперимента может не только испытуемый, но и сам экспериментатор. Потому по-настоящему серьёзные исследования проводятся в рамках тройного слепого метода, когда действие препарата сравнивается с действием плацебо в рамках контрольных групп. При этом ни сам подопытный, ни учёный, проводящий эксперимент, ни даже исследовательский комитет не в курсе, дали ли в конкретном случае плацебо или лекарство. А то будет, как с дрессированной лошадью по имени Ханс, которая умела считать. Считать, она, конечно, не умела, зато умела толковать знаки, неосознанно подаваемые ей дрессировщиком.

Демонстрация способностей умного Ханса.

Психосоматика – сильная вещь, которая способна спровоцировать массовую истерию. Так, после громких случаев рассылки спор сибирской язвы осенью 2001 года в США в стране распространилась школьная чесотка: чесались дети в сотнях школ 27 штатов. Были даже случаи в Канаде. Придя домой, дети чесаться переставали до следующего посещения школы. Конечно, это был не первый случай подобного рода. Автор напоминает о танцевальной чуме 1518 года в Страсбурге, когда сотни человек танцевали без отдыха несколько дней подряд. Тогда не обошлось без летальных исходов.

Танцевальная чума

Похожий эффект заражения имеют фейки, распространяющиеся, подобно пожару, в социальных сетях. Как быть? Делать правду столь же привлекательной и «заразной», как фейк. Такой совет даёт автор. Также нужно противостоять деструктивным религиозным сектам созданием новых позитивных и привлекательных идеологий. Совет хороший, спору нет. Вот только в данном случае посоветовать – гораздо легче, чем сделать. Увы.

Гнездовье патагонской чайки

Нет, конечно. Им и в голову не придёт в голову усесться совсем рядом с соседом. А должны бы, если бы садились в случайном порядке.

Ну а если случайная картина напоминает что-то, то мы считаем часто, это не может быть случаем. Этот психический феномен называется апофенией. Некоторые проводят время жизни в поиске тайных сообщений, проигрывая популярные треки задом наперёд, ищут потусторонние сообщения в шуме из динамика радиоприёмника и жалуются на Джоббса, который, по их мнению, недостаточно тщательно перемешивал треки на Айподе. Пришлось тому переделывать алгоритм, чтобы не попадалось несколько треков одного и того же исполнителя подряд (хотя по канонам случайности это вполне возможно).

На самом деле, если захочешь увидеть какое-то совпадение – непременно найдёшь. Учёные, не найдя искомой корреляции в наборе данных, частенько занимаются p-hacking или подгонкой результата. Я рассказывал об этом здесь. Ищут какие-то другие корреляции. И находят их. А то, что они являются полной экзотикой и не воспроизводятся – не волнует. Главное, что можно статейку тиснуть.

В Британии, начиная с 1966 года, было организовано Бюро Предсказаний, куда можно позвонить и рассказать о приближающемся несчастье. В 1967 году некто Алан Хенчер сообщил о скором падении самолёта в горах со смертью 123 или 124 человек. На следующий день мир облетела весть о катастрофе пассажирского лайнера, попавшего в грозу над Кипром. 124 смерти. Бинго! Или нет? Начнём с того, что Кипр горами назвать трудно. Далее, ещё два человека умерло через пару дней в больнице. И закончим тем, что это был лишь один из сотен звонков, поступивших в Бюро от Хенчера. Совпадение? Вполне может быть.

С по-настоящему большими числами всяко бывает. Бывает, выигрывают в лотерею два раза подряд. Бывает, выпадают одни и те же числа два тиража подряд, как в болгарской «6 из 42» в сентябре 2009 года. При этом если в первом из них шесть номеров не угадал никто, то во втором – аж восемнадцать человек. Бывает, чо. Вписать уже выпадавшие номера в билет для следующего тиража – вполне известная стратегия. А вероятность повтора комбинации за более, чем полувековую историю болгарской лотереи составляет ни много, ни мало – 94%. Несмотря на это, болгарский министр спорта запустил расследование, которое не нашло нарушений. Что не удивляет. Не должно удивлять.

Подготовка тиража болгарской национальной лотереи.

Как не должны удивлять повторяющиеся дни рождения в классе, начиная с 23 человек. Да, начиная с этого размера, вероятность того, что у кого-то с кем-то совпадёт, превысит 50%. Объясняется это значительным превышением числа возможных пар (253) таких совпадений над числом одноклассников.

У группы в полсотни человек она составит 97%. А какова она будет у четырехста? 99,99999999...? Нет, конечно. Все 100%. В году-то не бывает больше 366 дней. «Элементарно, это же принцип Дирихле», – скажет математик. «Здравый смысл!» – ответит обыватель. Когда мест в автобусе меньше, чем пассажиров, кому-то придётся стоять.

«Парадокс» дня рождения. Вероятность совпадения хотя бы у двоих из группы.

Как видим, события, которое, казалось бы, имеют весьма малые шансы случиться, происходят вокруг нас постоянно. Здесь ключевые слова: «казалось бы».

Принципом Дирихле пользуются некоторые манипуляторы, пытаясь создать иллюзию своей всеведущести. Они делают прогнозы, закрывающие все возможные варианты с тем, чтобы стереть всё несбывшееся после события. Так сделал некто fifNdhs в Твиттере в попытке «вскрыть» коррупцию в ФИФА.

Double-siding в Твиттере.

Нечто похожее может произойти без манипуляций. Мы можем восхищаться устойчивостью старых зданий, простоявших столетия без видимых повреждений. Но при этом забываем, что всё неустойчивое уже давным-давно развалилось. Можем пасть жертвой рекламы какого-нибудь лекарства, ссылающегося на публикации о его успешном применении. Но забываем, что неуспешные применения вообще не публикуются. Это искажение называют парадоксом выжившего. Совет автора читателю: будьте подобны Шерлоку Холмсу, который делал выводы не только из очевидного, но и из отсутствующих свидетельств. Обращать внимание, когда собаки не лают в ночи.

Мы плохо справляемся с неопределённостью. Нам трудно заставить себя заполнить лотерейный билет так, чтобы какие-нибудь два числа шли друг за другом, хотя примерно половина тиражей содержит такие пары. Хотите создать по-настоящему случайную последовательность? Не выдумывайте ничего, а просто бросьте жребий. Лучше получится. Опытные игроки в камень-ножницы-бумагу безошибочно определяют любую стратегию и начинают бить тебя, как только отгадают её. Не проиграть им можно, лишь переключившись на чистый случай в своём выборе. Так и всюду: если мы на самом деле хотим избежать эксплуатации своей предсказуемости, то некоторую часть своего процесса принятия решения можно попытаться отдать на волю случая.

Некоторую, но не всю! В мире достаточно идиотов, принимающих все решения по броску монеты. Более разумной является смешанная стратегия, которую используют, например, индейцы на востоке Канады. Они бросают жребий, чтобы определить, куда пойти охотиться следующий раз. Случай может помочь нам и при аналитическом параличе, когда мы не можем решиться выбрать из множества альтернатив. Например, выбрать блюдо в меню ресторана. Поговорку «лучшее – враг хорошего» не просто так придумали. Порой, важнее сэкономить время и быстро определиться, чем его упустить в погоне за сомнительной выгодой.

Наше неумение понимать неопределённость можно использовать для изобличения манипуляций. Откройте свою адресную книгу, и если она достаточно велика, можете убедиться, что первой цифрой в номерах домов чаще бывает единица, за ней идёт двойка и т.д. Девятка попадается реже всех. Хоть первым подобный факт заметил американский астроном в девятнадцатом веке (он заметил, что первые страницы математических сборников таблиц всегда наиболее истрёпаны), закон получил имя Фрэнка Бенфорда, который обнаружил подобное распределение в списках бассейнов рек, значениях теплоёмкости и прочих таблицах, включая номера домов.

Распределение Бенфорда.

Казалось бы, просто забавный факт, но нет. Не забываем, что случайные данные тоже подделывают, и не всегда в благих целях. Так некто Уэйн Джеймс Нельсон обналичил как минимум 23 фальшивых чека на сумму до двух миллионов долларов. Жулик знал, что всё, что не превышает стотысячную отметку, практически не проверяется. Но его подвела жадность: слишком многие из его сумм начинались на девятку.

Можно вспомнить в этой связи более общий закон Ципфа, согласно которому частота появления какого-то слова из текста обратно пропорциональна его порядковому номеру в списке «популярности». Наиболее популярное в английских текстах слово „the“ попадается гораздо чаще второго по популярности „of“ и ещё гораздо чаще остальных слов.

Подобным образом разбросаны и другие феномены, например, сила толчков землетрясений в регионе. 4 февраля 1974 года после предупреждения центра землетрясений одной из провинций на северо-востоке Китая власти начали массовые эвакуации. И не зря: в 19:46 случился толчок магнитудой в 7,5 баллов. Сотни тысяч жизней оказались спасены. Китай с гордостью заявил на весь мир об успехах своих сейсмологов. Вот только успехи эти оказались ограничены. Пару лет спустя в соседней провинции случилось ещё одно землетрясение силой в 7,6 баллов. 242 тысячи погибших. Никто не смог предсказать. На что же опирались предсказатели в 1974 году? На правило из старой рукописи, гласившее: «избыток дождя осенью непременно приведёт к землетрясению зимой». Если учесть, что 4 февраля – последний день зимы по китайскому календарю, а также пятибалльный форшок утром того же дня, то нетрудно понять логику китайского сейсмолога, забившего тревогу. Ему повезло. Но всё же он не был так уж неправ в своих ожиданиях. Он мог рассчитывать на сильное землетрясение в регионе в определённый промежуток времени согласно закону Гутенберга-Рихтера. Мы по-прежнему не можем заранее знать, когда это случится, но можем оценить вероятность такого события в определённый промежуток времени. И заранее инвестировать в строительство сейсмоустойчивых зданий, например.

Неочевидность вывода может поджидать нас в, казалось бы, простых случаях. К примеру, при известном заблуждении прокурора, при котором какая-нибудь улика интерпретируется против обвиняемого на том основании, что она является естественным результатом его возможных действий. Но на самом деле она может быть результатом и действий других лиц. Пусть даже эти лица с меньшей вероятностью способны создать её, но круг их может быть так широк, что в целом такой вариант может стать более вероятным, чем тот, что предлагает прокурор. Актуальной иллюстрацией может служить недавняя пандемия коронавируса, когда все массово тестировались. Если тест оказывался позитивным, то это не значило автоматически, что тестируемый инфицирован. Ведь при невысоком уровне распространения вируса в целом и повальном тестировании гораздо выше была вероятность ложнопозитивного теста. Здесь мы входим в мир условной вероятности и формулы Байеса, по которой вероятность можно уточнить на основе новых данных.

Отсюда мораль: при выводе о возможной причине явления нужно обязательно учитывать все возможные сценарии и их вероятности. Иначе можно легко пасть жертвой предвзятости подтверждения. Необходимо собирать новые данные, крупицу за крупицей. И кто знает, может, наступит момент, когда придётся изменить своё мнение. Это нормально. Так Байес сам открыл свою формулу, практикуясь на бильярдном столе и считая шары, попавшие в один или другой угол.

Пожалуй, логичнее можно было бы называть книгу «Занимательная теория вероятности». Слишком велико желание автора набросать побольше иллюстраций из этой науки, приправив соусом из баек о мошенниках. И всё же, до сей поры какая-никакая, но связь повествования с предвидением имелась. В случае с теорией игр, о которой автор рассказывает в очередной главе, я её не увидел.