Утром, прежде допить чай, загляните в свою чашку. Если за окном солнечно, и свет в помещении достаточно яркий, вы обязательно увидите на дне чашки вот такую световую линию:
Напоминает опрокинутую цифру "три". Или яблоко. Или сердце. Или... ну, общем, не важно, что напоминает.
Эта линия (а говоря математическим языком – "кривая") называется каустика. Стоит обратить внимание на неё один раз, и она начнёт преследовать вас повсюду. Вот она, например, в ведре с водой:
В переводе с греческого "каустикос" означает "жгучий". Как возникает это явление и почему так называется?
Допустим, источник света – это ваше окно. Тогда свет – это пучок параллельных лучей. Каждый луч отражается от стенки чашки по закону геометрической оптики – «Угол падения равен углу отражения». Вот так:
Каждый следующий луч отражается от стенки чашки под немного другим углом (ведь эта стенка искривлённая). Отражённые от стенки лучи пересекаются строго определённым образом. Из точек их пересечения и образуется каустика! Более светлая, потому что свет в точках пересечения лучей концентрированный! Вот как это происходит:
Именно за каустиками мы наблюдаем, когда любуемся игрой света на дне бассейна или на борту корабля:
Каустики изучает один из самых молодых разделов математики, у которого очень интригующее название – "теория катастроф". Ну, это на Западе, а у нас – «особенности дифференцируемых отображений». Что это такое?
Есть старинная восточная притча. Жил да был жадный торговец. Поехал он на базар купить соломы и взял с собой одного-единственного верблюда. Купил – и давай грузить тюки с соломой верблюду на спину! Грузит, грузит, и всё ему мало. «Смотри, – говорят ему, – как бы верблюд твой не умер от такой тяжести, имей совесть!» – «Ничего, – отвечает жадина, – выдержит!» И продолжает грузить. Верблюд уже еле-еле на ногах стоит, а купец только руки потирает, подсчитывает будущие барыши. Наконец, тронулся верблюд с места, а жадина не выдержал: «Ну ещё чуть-чуть!» – и положил на спину верблюду всего-то одну соломинку. Ноги у верблюда подкосились, он упал и умер. Остался купец ни с чем – не на себе же ему солому везти? А с тех пор люди стали говорить: «Одна соломинка может сломать спину верблюду».
Обычная математика любит изучать такие процессы, которые принято называть «непрерывными», «гладкими». Это означает, что маленькие изменения управляющих параметров приводят к таким же маленьким изменениям итоговых характеристик. Переводим на русский. Если нажать на педаль газа в автомобиле несильно, совсем чуть-чуть, то автомобиль ускорится тоже совсем немножечко.
Движущийся автомобиль – это система.
Педаль – это управляющий параметр.
Нажатие педали – изменение управляющего параметра.
Ускорение автомобиля – итоговая характеристика.
Теория катастроф же изучает совершенно другое – так называемые «особые точки», то есть точки, в которых самые малые изменения входных параметров приводят к резкому и безвозвратному изменению характеристик всей системы. Нажимаешь на педаль «ещё чуть-чуть», а автомобиль взлетает…
Возьмём, например, нашу историю про купца и верблюда. С точки зрения математики, в этой сказке есть одна система (верблюд + груз соломы), есть управляющий параметр (вес соломы, то есть количество соломинок, уложенных верблюду на спину) и есть итоговая характеристика (довезёт верблюд груз или нет).
Допустим, мы начинаем добавлять по одной соломинке (ведь одна соломинка практически ничего не весит, правда?). Тысяча соломинок, десять тысяч, двадцать... Верблюду всё тяжелее, но он стоит на ногах, он способен идти, хоть и медленно... И вдруг в какой-то момент мы добавляем всего лишь ещё одну соломинку – и верблюд падает замертво! Характеристики нашей системы кардинально изменились! И даже если мы начнём разгружать беднягу-верблюда, – ни ему, ни нам это не поможет. Вернуть всё назад уже не выйдет! Вот эта самая «точка невозврата», «точка последней соломинки» и называется в математике вырожденной особой точкой или «точкой катастрофы».
Точка катастрофы
В природе существует множество процессов, которые можно рассматривать как математические катастрофы. Возьмите старую резинку для волос. Она сделана из упругого материала, который (согласно школьной физике) подчиняется простому закону (закону Гука): чем больше мы удлиняем резинку, тем сильнее она нам «сопротивляется», стремится вернуть себе исходную форму. Но что произойдёт, если мы – пускай даже очень медленно и осторожно! – станем удлинять её всё дальше и дальше?
В определённый момент её структура изменится, её упругие характеристики исчезнут – и даже если мы отпустим её, исходную форму она уже не примет, а просто повиснет на руках. Всё, резинка испорчена, «растянулась». Ну а если мы потянем её ещё дальше – она и вовсе разорвётся, правильно? Перед нами снова математическая катастрофа: совсем небольшое дополнительное усилие (растягивание резинки) в какой-то момент резко и необратимо меняет свойства объекта.
Само собой, математическая катастрофа может стать причиной самой настоящей катастрофы. Представьте себе летящий самолёт. Его крыло создаёт подъемную силу, которая не даёт самолёту упасть. Однако эта подъемная сила зависит от скорости самолёта. Если пилот начнёт сбрасывать скорость, лететь всё медленнее и медленнее, то в какой-то момент (вот она, «точка катастрофы»!) подъемная сила вдруг резко уменьшится – и самолёт внезапно теряет управляемость, «сваливается в штопор», начинает бесконтрольно падать и в итоге разбивается об землю. Хорошо, если пилот успеет выпрыгнуть с парашютом! Обратите внимание: если самолёт «сваливается», то увеличение скорости само по себе не сможет вернуть ему управляемость, просто так «отыграть назад» у пилота не выйдет.
Бифуркация
Поведение исследуемой системы вблизи точки катастрофы математики часто называют «бифуркацией», то есть «двойной вилкой». Допустим, если наш самолёт летит на предельно малой скорости («скорости сваливания»), в каждый момент у нас образуется «вилка» – он с равной вероятностью (как любят говорить, «пятьдесят на пятьдесят») может или продолжать полёт, или потерять управляемость и свалиться в штопор. В точности такая же бифуркация присутствует и в опыте с резинкой («растянется – не растянется»), и в сказке про верблюда («выдержит – не выдержит»).
Катастрофы социальные и психологические
Где ещё можно использовать методы теории катастроф? Ну, например, при исследовании поведения животных и даже нас, людей. Как это выглядит? Вообразите ситуацию: учительница ведёт в парк на экскурсию первоклассников. Первоклассники, как водится, ведут себя не очень примерно – то один отбежит в сторону, то другой начнёт задираться, то третий дёрнет девочку за косичку... Учительница сдержанно, с улыбкой пытается наладить дисциплину: «Петров, прекрати... Сидоров, вернись в строй... Алёша, возьми за руку товарища и не хулигань». Так продолжается пять минут, десять... И вдруг в какой-то момент (вот она, «критическая точка», «точка катастрофы», узнали?) учительница срывается на крик: «А ну все встали на места! Все замолчали!» Дети тут же притихают и обиженно шепчут – «А что случилось? Да мы же ничего такого не делали...»
Непедагогично, но ведь знакомо, правда? Довели бедную Мариванну до белого каления, негодники. А ведь такие ситуации могут возникать и среди взрослых, и не только в школе – но и на производстве, в армии, в научной экспедиции, и результаты могут быть очень неприятными.
Катастрофы математические
Давайте проверим, насколько хорошо мы поняли, какая разница между математическими и «настоящими» катастрофами.
Скажем, падает на Землю из космоса метеорит – и взрывается. Катастрофа? Ещё какая, спросите у динозавров. Однако является ли это явление математической катастрофой? Нет. Когда метеорит врезался в землю, его скорость (управляющий параметр) падает резко, скачком – и состояние его соответственно меняется скачком (происходит взрыв). Назвать это «катастрофой» в математическом смысле будет некорректно.
А теперь рассмотрим выражение «последняя капля» (та самая последняя капля, которая «переполняет чашу терпения»). Возьмём стакан и наполним его до краёв водой. А потом возьмём пипетку и будем добавлять в полный стакан по капельке... В конце концов вода разольётся, причём на стол прольётся не одна капля воды, а больше!
С обыкновенной точки зрения эта ситуация катастрофой не является – а вот с точки зрения математики перед нами типичная математическая катастрофа!
Рассказывал журнал "Лучик".
Познакомиться с журналом можно по этой ссылке.
Будем рады, если он вам понравится!
