Как молоды мы были...

Так уж получилось, что огромная часть моей жизни была в пути. Автобусы, будь они не ладны. Иногда в таких позах приходилось ехать, что в Твистер я выигрываю до сих пор.

В тот жаркий день было мало пассажиров. Я сидела у окна и решала сборник Белоносова и Фокина (была такая увесистая книга для абитуриентов НГУ). До вступительных экзаменов оставалось несколько недель, а тут текстовая задачка никак не поддавалась. Сказать по правде, я люблю задачки, но эта была больно лютой. Зачеркнув очередное неверное решение, громко выдохнув, посмотрела в окно. Молодежь беззаботно гуляла, поедая мороженое. Хотелось отдыхать, предаваясь бренньй лени. ⠀


- Вы не с той стороны решаете.

- Что, простите?

Мужчина в годах отвлек меня от мечтаний.

- По другому надо. Дайте ваш листок.

За пять минут он легко и непринужденно расписал решение, задача уже не казалось такой трудной.

- Ох, спасибо большое. Вы школьникам или студентам преподаете?

Мужчина расплылся в улыбке:

- Я один из авторов этого задачника.


На вступительном экзамене текстовую задачу я решила, но она была совсем простой.

Вы смотрите срез комментариев. Показать все
39
Автор поста оценил этот комментарий
А у меня до сих не решена задача со вступительных в ВУЗ: найти объем тетраэдра, если его высота 8√3. Скоро уже 29 лет стукнет этой не решённой задаче.
раскрыть ветку (23)
233
Автор поста оценил этот комментарий

Заинтересовался и решил. Указанной информации достаточно, чтобы найти сторону тетраэдра, а значит и объем.


Высота тела падает в точку пересечения высот О равностороннего треугольника, лежащего в основании. Обозначим сторону этого треугольника как A. Высота треугольника находится через синус, точкой пересечения высота делится в отношении 2 к 1, то есть получается, что расстояние от О до любой из вершин треугольника составит A*√3/3. У нас есть треугольник из высоты тетраэдра, стороны тетраэдра и найденного отрезка. По теореме Пифагора находим A = 12√2. Отсюда находим площадь основания 72√3 и, в конце концов, заветный объем равный 576.


В итоге ваш ответ - 576. Теперь вы знаете ответ и можете спать спокойно, разумеется, если вам это хоть как то мешало спокойно спать.

раскрыть ветку (22)
39
Автор поста оценил этот комментарий
Клёво!!! Спасибо за решение, конечно спать не мешало, но столько лет в голове сидело. А теперь когда видишь решение всё оказывается не так и сложно!
раскрыть ветку (3)
36
DELETED
Автор поста оценил этот комментарий

Ну иди, поступай!

раскрыть ветку (2)
2
DELETED
Автор поста оценил этот комментарий

ЕГЭ же уже давно

2
Автор поста оценил этот комментарий
Поздно, уже сын универ заканчивает, а дочери ещё 2 года... до 1 класса.
23
Автор поста оценил этот комментарий

А где в условии что это правильный тетраэдр?

раскрыть ветку (1)
7
Автор поста оценил этот комментарий

А по другому не получиться. Можно построить бесконечное множество неправильных тетраэдров с такой высотой.

9
Автор поста оценил этот комментарий

А где сказано, что тетраэдр правильный?

раскрыть ветку (5)
12
Автор поста оценил этот комментарий

Нигде. Просто без этого не было бы решения, а так человек успокоился.

раскрыть ветку (4)
6
Автор поста оценил этот комментарий
Зашёл в коммент с поста. В общем правильно. 1- за это время человек може забыть точное условие задачи, 2-ниеому нисего доказывать не буду, просто плюсану вас и ещё пару человек из ветки.
раскрыть ветку (3)
5
Автор поста оценил этот комментарий

А что есть какой-то пост? А то как-то внезапно народ под под моим коментом активизировался

раскрыть ветку (2)
раскрыть ветку (1)
6
Автор поста оценил этот комментарий
О, спасибо. Прикольно
2
Автор поста оценил этот комментарий
Жениться тебе надо... 😁
1
Автор поста оценил этот комментарий

Круто!

У меня тоже одна нерешенная задача со вступительных - как изменится объем куба, если его диагональ увеличится на треть?

раскрыть ветку (3)
4
Автор поста оценил этот комментарий
На самом деле задача не сложная, смотри

Будем считать, что a - ребро куба, d - его диагональ. Диагональ куба и его ребро связаны следующим соотношением
d^2=3a^2
(если непонятно откуда это взялось, вспомни: "квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (имеется ввиду длина, ширина, высота)" доказательство этой теоремы занимает всего 3-4 строчки )

Выразим из первой формулы сторону квадрата: a=√((d^2)/3), объем квадрата соответственно будет равен V=а^3=(√((d^2)/3))^3

Если увеличить эту же диагональ в квадрате на одну третью часть, то она станет равна 4/3d, подставим значение новой диагонали в последнюю формулу и найдем тем самым объем нового куба Vн (н - значит новый):
Vн=(√(((4/3d)^2)/3))^3

Поделим объем нового куда на объем старого и узнаем во сколько раз он изменился:
Vн/V=((√(((4/3d)^2)/3))^3)/(√((d^2)/3))^3=(√((((4/3d)^2)/3)/((d^2)/3))))^3=(√((4/3)^2))^3=(4/3)^3=48/27=1 7/9

Ответ: увеличится в 1 7/9 раз.

P.s. последние строки выглядят страшно только лишь из-за того, что там много скобок))
раскрыть ветку (2)
2
Автор поста оценил этот комментарий

У вас ошибка в предпоследнем преобразовании.

Можно проще. Исходя из подобия треугольников, увеличение диагонали куба пропорционально увеличению его ребра. Следовательно если диагональ увеличится на треть, то и ребро увеличится на треть.

обозначим ребро старого куба как а.

V1=a^3

V2=(4/3*a)^3=(4/3)^3*a^3

V2/V1 = (4/3)^3=64/27=2 10/27

раскрыть ветку (1)
Автор поста оценил этот комментарий
Спасибо за замечание, видимо я запутался в скобочках))))
4
Автор поста оценил этот комментарий
равностороннего треугольника, лежащего в основании

С чего вдруг равностороннего? Ни слова об этом

раскрыть ветку (1)
6
Автор поста оценил этот комментарий

Если тетраэдр правильный, то треугольник равносторонний. А если неправильный - то указанных данных не достаточно для решения, тетраэдров с заданной высотой сколь угодно много, а объем, соответственно, может быть как близок нулю, так и на порядки больше того, что нашел я.

Автор поста оценил этот комментарий
Иллюстрация к комментарию
Автор поста оценил этот комментарий
Не правильно! Вот правильный ответ: V=(8√3/3)*S, где S - площадь основания тетраэдра.
Автор поста оценил этот комментарий

А с чего вы взяли что в основании равносторонний треугольник? Вообще не понимаю вашего решения. Информации недостаточно, так-как с одинаковой высотой может существовать множество разных тетраэдров с разными площадями оснований, соответсвенно с разными объемами.

Разве что имелся ввиду правильный тетраэдр, тогда другой разговор.

Вы смотрите срез комментариев. Чтобы написать комментарий, перейдите к общему списку