Интересные свойства чисел⁠⁠

Квадраты чисел не оканчиваются на цифры 2, 3, 7, 8.

Остаток от деления на 12 у квадратов может быть равным только 0, 1, 4, 9.

У кубов чисел остаток от деления на 9 всегда равен 1, 8 или 0.

2520 делится на все числа от 1 до 10

153, 370, 371, 407: эти числа равны сумме кубов своих цифр

Умножения-палиндромы

12*12=144 441=21*21

12*13=156 651=31*21

12*14=168 861=41*21

13*13=169 961=31*31

Сколько букв в слове "одиннадцать"? Одиннадцать! В слове "три" букв тоже три.

В словах "сто" и "миллион" столько же букв, сколько цифр в соотв-щих числах.

Слово "двадцатичетырехбуквенное" реально двадцатичетырехбуквенное!

В этой фразе двадцать восемь букв

Это предложение содержит двенадцать слов, двадцать шесть слогов и семьдесят три буквы

В этой фразе два раза встречается слово "в", два раза встречается слово "этой", два раза встречается слово "фразе", четырнадцать раз встречается слово "встречается", четырнадцать раз встречается слово "слово", шесть раз встречается слово "раз", девять раз встречается слово "раза", семь раз встречается слово "два", три раза встречается слово "четырнадцать", три раза встречается слово "три", два раза встречается слово "девять", два раза встречается слово "семь", два раза встречается слово "шесть".

В феврале 2000 года первый раз за 1111 лет случилась дата - 02.02.2000, состоящая только из чётных цифр. Последний раз такое событие произшло 28.08.888. Последняя прожитая нами дата была 19.11.1999. Следующая - 11.11.3111.

Первые 3 утверждения - моё личное наблюдение. Чтобы они стали теоремами, их надо доказать

Докажем 1 утверждение - квадраты чисел не оканчиваются на цифры 2, 3, 7, 8.

1) Для доказательства представим все натуральные числа в виде 10a+b, где а - последняя цифра, b - остальные. Квадрат числа будет (10a+b)^2 = 100a^2+20ab + b^2.

2) 100a^2+20ab всегда делится на 10, поэтому 100a^2+20ab + b^2 (квадрат числа) при любых а будет оканчиваться на ту же цифру, что и b^2 (последняя цифра в квадрате). Например, среди всех чисел, оканчивающихся на 7 (b=7), его квадрат оканчивается на 9 (b^2 = 49).

3) b принимает значения от 0 до 9, поэтому, проверив квадраты чисел от 0 до 9 и убедившись что среди них нет чисел, оканчивающихся на 2, 3, 7, 8, можно утверждать, что утверждение доказано. Так и есть, среди первых десяти чисел нет оканчивающихся на 2, 3, 7, 8, значит нет таковых и среди всех натуральных чисел

Остаток от деления на 12 у квадратов может быть равным только 0, 1, 4, 9.

У кубов чисел остаток от деления на 9 всегда равен 1, 8 или 0.

Эти утверждения доказываются похоже:

1) все натуральные числа представляются в виде ka+b, где k - делитель деления с остатком

2) это выражение возводится в квадрат или куб

3) выясняется, что остаток от деления на k не изменяется при любых а

4) проверяются остатки у первых k чисел, и утверждение доказывается.

ЗЫ. Ваще не понял!)😤